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Relation d’ordre, relation d’équivalence

Les maths font peur, ce n’est pas nouveau. Même à un physicien comme moi, qui s’est souvent senti intimidé face à des développements trop abstraits, pas utiles (à première vue, mais il faut se méfier !) à la résolution des problèmes de physique. Pourtant, on a beau dire, mais les mathématiques constituent une école de rigueur irremplaçable. Et qui n’est pas capable de rigueur dans le raisonnement est une cible idéale pour tous les charlatans, manipulateurs et autres personnes mal intentionnées, qui font profession de vivre grâce à l’ignorance des autres plutôt qu’en monnayant un véritable travail.

Du temps où j’étais collégien (quelque part entre l’extinction des dinosaures non-aviens et maintenant), on enseignait dès la cinquième les notions de relation d’ordre et de relation d’équivalence. Aujourd’hui, il semble que ces notions simples et utiles aient été repoussées à des stades très ultérieurs… alors qu’elles sont de la plus haute importance pour démonter nombre de manipulations dans lesquelles nous baignons ; en particulier quand il s’agit de discuter d’égalité. Essayons de voir comment, mais d’abord, commençons par donner des définitions : en maths, inutile de parler de ce qu’on n’a même pas défini. Que les mathématiciens me pardonnent, mon langage ne sera sans doute pas aussi précis qu’il est souhaitable dans la discipline, mais il vise à être compris du plus grand nombre tout en dissipant le maximum d’ambiguïtés.

Même si le terme de relation binaire peut être défini par les mathématiciens d’une façon qui fera peur aux autres, il n’est pas vraiment utile, pour la suite, de s’apesantir dessus car chacun peut comprendre, dans le langage courant, ce que cela signifie : c’est un lien entre deux entités, au sens large. Il faut par contre préciser en quoi cette relation peut être “d’ordre” ou “d’équivalence”, et pour cela, il faut définir quelques propriétés que les relations peuvent avoir. Pour alléger les phrases, commençons par adopter une convention ; on appellera A et B les deux entités mises en relation, et la phrase “A est en relation avec B” sera abrégée en :

A 𝓡 B

La lettre 𝓡 placée entre A et B symbolise la relation, et permet de l’écrire sous une forme condensée, mais il ne faudrait pas pour autant en oublier sa signification. Il est donc conseillé de ne pas lire cette expression comme une “formule magique”, en prononçant seulement les lettres, mais bien de lire : “A est en relation avec B” .

Les relations peuvent avoir différentes propriétés :

  • la réflexivité : une relation est réflexive si tout élément est relié à lui-même. Autrement dit, quel que soit A, on peut toujours écrire A 𝓡 A. Exemple concret : la relation “a le même âge que” est réflexive dans l’ensemble des individus, puisque tout individu a le même âge que lui-même.

    Inversement, une relation est dite antiréflexive s’il n’existe aucun élément A tel que A 𝓡 A. Par exemple : “a un salaire double de celui de”.

  • la symétrie : une relation est symétrique si, lorsque pour tout A et pour tout B, lorsque A 𝓡 B est vérifié, alors B 𝓡 A l’est également. Exemple concret : la relation “a le même âge que” citée ci-dessus, ou encore la relation “habite dans la même ville que” (qui est également réflexive).

    Inversement, une relation est dite antisymétrique si, lorsque A 𝓡 B et B 𝓡 A, alors on peut en déduire que A et B sont identiques, ce qu’on note généralement A=B.

  • la transitivité : une relation est transitive si, quels que soient A, B et C, si A 𝓡 B et B 𝓡 C alors A 𝓡 C. Exemple concret : si Pierre est plus grand que Paul et si Paul est plus grand que Jacques, alors Pierre est plus grand que Jacques. La relation “est plus grand que” est transitive.

Ayant énoncé ces propriétés, on peut maintenant définir les relations d’ordre et les relations d’équivalence :

  • une relation d’ordre est une relation binaire qui est à la fois réflexive, antisymétrique et transitive,
  • une relation d’équivalence est une relation binaire qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.

On peut, de plus, définir une relation d’ordre strict lorsque la relation binaire est antiréflexive au lieu d’être réflexive. Remarquons que cette relation n’est alors plus une relation d’ordre, au sens donné ci-dessus.

Fort bien, mais le rapport avec la vie de tous les jours, me direz-vous, et surtout l’aptitude à ne pas tomber dans certains pièges que nous tendent des discours manipulatoires ? Patience, nous y voila.

S’il est un terme bien à la mode dans le discours médiatico-politique, c’est celui d’égalité (ou d’inégalité). La lutte contre les inégalités, la recherche de l’égalité entre les hommes et les femmes, l’égalité des droits pour tous, l’égalité des races entre elles (dont par ailleurs on nie l’existence…), l’égalité des chances pour les étudiants, tout ceci semble couler de source. Mais à chaque fois que nous prononçons ce mot, comprenons-nous vraiment de quelle égalité il s’agit ?

Le problème, c’est que dans notre esprit nous utilisons la notion d’égalité pour deux concepts bien différents, qui renvoient implicitement aux relations d’ordre ou d’équivalence. Le simple fait de nommer les choses, par exemple le mot “arbre”, renvoie à une relation d’équivalence entre les arbres ou, ce qui est une autre façon de dire la même chose, à la classe d’équivalence “arbre”. À l’intérieur de laquelle, bien sûr, nous construisons des sous-classes sur le même principe : par exemple les chênes, les bouleaux, les peupliers, etc. Par ailleurs, nous pouvons également dire “cet arbre est plus grand que celui-là”, ce qui renvoie implicitement à une relation d’ordre dans l’ensemble des arbres, basée sur la mesure de leur hauteur. Quand nous pensons “égalité”, nous pouvons donc à la fois signifier “appartenance à une même classe” (tous les arbres sont “égaux” au sens où ce sont tous des arbres) ou bien “égalité de rang dans un ensemble ordonné” (la hauteur de cet arbre est égale à la hauteur de cet autre).

Bien sûr, une relation binaire ne peut pas être à la fois d’ordre et d’équivalence, puisqu’elle ne peut pas être à la fois antisymétrique et symétrique. Les deux notions sont mutuellement exclusives : l’une implique un classement ordonné d’éléments d’un seul ensemble selon un axe ou une dimension, avec la notion d'”inférieur à” et de “supérieur à”, tandis que l’autre implique aussi un classement, mais en classes distinctes et absolument pas ordonnées entre elles. Un cheval n’est pas “supérieur à” ou “inférieur à” un arbre, cela n’a pas de sens. Leurs masses peuvent être comparées, mais il s’agit alors d’une relation d’ordre dans l’ensemble des masses, où nous pouvons aussi bien mettre les chevaux, les arbres, les libellules et les aspirateurs.

Nous appliquons sans arrêt ces deux concepts sur les mêmes objets (au sens large), sans en avoir vraiment conscience. Ainsi lorsqu’on parle d’égalité entre hommes et femmes, s’agit-il de relation d’ordre ou de relation d’équivalence ? À l’évidence, les hommes et les femmes appartiennent à deux classes d’équivalence distinctes (même si quelques cas exceptionnels peuvent rester indéterminés), il ne peut donc s’agir d’égalité au sens d’appartenance à une même classe. Ou alors, il s’agit d’une classe qui les englobe, celle des êtres humains, mais il s’agit là d’une tautologie. La seule acception qui ne soit ni absurde ni tautologique reste donc celle d’une égalité dans un ensemble ordonné. Mais quel ensemble ? Quel est le critère, la mesure sur laquelle construire une relation d’ordre ? On peut bien sûr mesurer la hauteur des individus, hommes et femmes, en tirer une moyenne, et conclure que la hauteur moyenne des hommes (on dirait plutôt leur taille, en bon français) est supérieure à celle des femmes. Ou encore mesurer l’espérance de vie moyenne des individus, hommes et femmes, et conclure que celle des femmes est supérieure à celle des hommes.

Tout ceci est assez évident, et personne ne le contestera. Et nul ne proposera un traitement généralisé à l’hormone de croissance pour que les femmes rattrapent les hommes en taille, ni leur empoisonnement soigneusement dosé pour rétablir l’égalité des espérances de vie. Le problème vient lorsqu’on évoque la notion d’égalité de façon floue… et généralement assortie d’un jugement moral, pour s’offusquer du non-respect de cette égalité. Il est bien sûr des indignations morales de ce type qui sont justifiées, comme lorsque l’Afrique du Sud n’accordait pas les mêmes droits aux Noirs et aux Blancs. Mais si l’on s’indigne à juste titre qu’un groupe humain en opprime un autre, c’est pour revendiquer une égalité de droits, qui n’a d’autre justification que l’éthique, puisque les lois humaines sont des créations humaines.

Il en va différemment lorsqu’il s’agit, par exemple, de viser une égalité entre hommes et femmes dans l’éducation ; je ne parle pas ici, bien sûr, de l’égal accès à l’éducation entre garçons et filles, et plus tard hommes et femmes, mais des différences finales de fréquentation entre certaines filières, ou entre certains métiers, présentées comme problématiques car ne respectant pas “l’égalité homme-femme”. Il est ainsi très bien vu de “favoriser l’accès des filles aux métiers de la physique” ou de “promouvoir le métier d’ingénieur(e) auprès des lycéennes”, considérant comme une évidence qu’il n’y a “pas assez de physiciennes” et “pas assez d’ingénieur(e)s” dans la part féminine de la population. Mais sur quoi se base ce jugement d’ordre moral ? Sur l’idée que ces différences sont socialement construites, non naturelles, et donc injustes pour celles qui se trouvent ainsi frustrées, freinées dans leur élan par toutes sortes de “préjugés”. Personne ne se rebelle contre la plus petite taille moyenne des femmes par rapport à celle des hommes.

Or, il paraît très abusif de penser que si les informaticiens sont très majoritairement des hommes, et les orthophonistes encore plus majoritairement des femmes, ceci découle d’une “ségrégation” volontaire ou de préjugés tenaces. Sans compter que toutes les actions pour “favoriser l’accès des femmes à…” ont de furieux airs de programmes de soutien pour handicapé(e)s !

Tout enseignant, tout parent même (à condition d’avoir le choix) sait empiriquement que, en moyenne, les garçons et les filles ont des goûts différents, des comportements différents, et ceci même sans habiller les filles en rose en leur achetant des poupées pour Noël, et les garçons en bleu en leur offrant la panoplie du petit pompier. Et même en les coupant de toute pollution télévisuelle (ce que je recommande). Dans mes cours de physique, où les meilleurs étudiants sont souvent des étudiantes, j’ai toujours observé une différence significative entre les deux sexes – la première, qui saute aux yeux, étant la présentation des copies, bien meilleure en moyenne chez les étudiantes. Pourquoi donc devrais-je me désoler de n’avoir “que” un petit tiers d’étudiantes en troisième année de licence de physique ? Peut-être pour m’alléger les tâches de correction d’examens, mais il s’agit là d’une motivation très égoïste. Est-ce que cette inégalité ne pourrait pas être, tout bêtement, le résultat de l’appartenance de mes étudiants à deux sexes différents, donc deux classes d’équivalence différentes, et qui se distinguent l’une de l’autre par bien autre chose que les caractères sexuels primaires et secondaires habituellement enseignés ?

Il se trouve que, n’en déplaise aux idéologues forcené(e)s pour qui la réalité doit être cachée voire changée lorsqu’elle ne colle pas à leur idéologie, des mesures objectives des différences de fonctionnement cérébral ont pu être observées1 entre les humains de sexes masculin et féminin, et qu’elles ont même permis de savoir quand cette distinction devenait très significative : comme par hasard, à l’adolescence, c’est-à-dire quand les hormones sexuelles produisent leurs effets physiques les plus spectaculaires. Le cerveau n’aurait-il pas le droit d’être un organe comme un autre ? Et l’évolution d’optimiser les espèces en opérant une certaine division des compétences entre mâles et femelles, comme le suggèrent les auteurs ? Selon eux, “Les différences sexuelles dans les comportements humains montrent une complémentarité d’adaptation : les hommes ont de meilleures capacités motrices et spatiales, tandis que les femmes ont de meilleures performances cognitives sociales et de mémorisation” (“Sex differences in human behavior show adaptive complementarity: Males have better motor and spatial abilities, whereas females have superior memory and social cognition skills.“).

Quelques “féministes” (hommes ou femmes) hurleront peut-être d’indignation en lisant cela, même parmi les scientifiques de profession, révélant par là-même qu’ils n’ont pas compris l’absence de hiérarchie entre les deux types de fonctionnement cérébraux mis en évidence : non, l’article des Proceedings of the National Academy of Sciences n’a pas “démontré que les hommes étaient plus intelligents que les femmes” (ou l’inverse) mais seulement qu’ils appartenaient, pour cela aussi, à deux classes différentes… qui peuvent bien sûr se recouvrir en partie, tout comme certaines femmes peuvent être plus grandes que certains hommes. En somme, un supplément de connaissance, objective et rationnelle, portant sur la classification des individus en hommes et femmes (donc utilisant la notion de relation d’équivalence) est rejeté au nom du refus idéologique d’une relation d’ordre… qui n’a jamais existé.

S’il y a des préjugés, il faudrait peut-être les chercher dans les hiérarchies implicitement admises – y compris et surtout chez ceux et celles qui revendiquent “l’égalité” entre hommes et femmes – entre certains métiers jugés “prestigieux” (ingénieur, chercheur en physique…) et d’autres qui ne bénéficient pas de la même aura (enseignant(e) d’école primaire, infirmier(e)…). Cette hiérarchie implicite ne découlerait-elle pas tout simplement d’une soumission – le plus souvent inconsciente – à la relation d’ordre la plus nocive de toutes : celle basée sur l’argent ?

Addendum : ce refus d’une relation d’équivalence existante, cachant la soumission implicite et souvent inconsciente à une relation d’ordre non pertinente pour le problème étudié, trouve son parallèle dans ce qu’on nomme abusivement “antiracisme”, que j’avais déjà évoqué ici. Mais Wiktor Stoczkowski en parle bien mieux que moi.

  1. Sex differences in the structural connectome of the human brain, Ingalhalikar et al., PNAS

6 commentaires sur “Relation d’ordre, relation d’équivalence

  1. « females have superior memory and social cognition skills » > « meilleures performances cognitives et de mémorisation » : vous avez oublié ‘sociales’ dans votre traduction. D’autre part, s’agissant de « human behavior », ‘female’ doit se traduire par femme, et ‘male’ par homme. Tout ceci n’enlève rien bien sûr à l’intérêt de votre article.

  2. Merci beaucoup de mettre à l’honneur ces concepts fondamentaux trop souvent négligés dans nos cursus scolaires. Malheureusement, j’ai le sentiment que vous refusez d’accepter à quel point sont vaines vos velléités pédagogiques.

    La plupart des gens ont bien saisi la différence entre l’égalité et l’identité (parfois, il faut aller jusqu’à leur mettre le nez dans leur caca; mais on finit par y arriver). Dans ce sens, ils acceptent que des personnes égales soient différentes. Ils finissent toujours par comprendre qu’on ne peut pas exiger les mêmes choses de personnes dissemblables. Qui ne trouverait pas ridicule d’octroyer un pécule à tous les mâles afin qu’ils couvrent leurs frais gynécologiques ? Le problème n’est pas là, il est plus subtil.

    Le quidam ne sait pas faire la différence entre les paramètres en position covariante et contravariante, ce qu’il fait qu’ils confondent l’équivalence et la bisimulation. Autrement dit, ils confondent «coïncider sur» et «se comporter comme»: ils confondent l’égalité en droits et l’égalité des conséquences de ces droits; ils négligent même la dissymétrie entre les droits et les devoirs (et là il faudrait même introduire de la logique modale et aborder le théorème de Hennessy-Milner, qui n’a même pas sa page Wikipedia). Même si les hommes et les femmes disposent des mêmes droits – et des mêmes capacités à en jouir -, rien n’impose que 50% des scientifiques aient le devoir d’être des femmes, et ce indépendamment d’une quelconque différence de nature. Le droit de faire des études scientifiques est un paramètre contravariant: il a la nature d’une hypothèse, d’un argument procédural; tandis que le fait que les scientifiques soient ou non des femmes est un paramètre covariant: il a la nature d’une conséquence, du résultat d’une procédure.

    Il ne s’agit plus de notions qui étaient enseignées par le passé au collège: la bisimulation est au programme de certains masters en cursus recherche spécialisés dans la vérification de modèles, pas avant. Je ne connais pas un seul diplômé ordinaire maîtrisant les notions de covariance, de contravariance et de bisimulation; pour en croiser il faut errer la nuit dans les sous-sols de certaines universités parisiennes.

    Ceci dit, si c’est ce genre de prose que vous avez utilisé pour vous défendre devant le CNESER… Y avait-il seulement la moitié d’une personne en mesure de comprendre les concepts que vous y avez exposés ? Même avec énormément de bienveillance ? Ces idiots auraient fait boire la ciguë à Socrate. Un bon arrangement vaut toujours mieux qu’un bon procès. Mieux encore: pour vivre heureux, restons cachés, car les mathématiques sont racistes, sexistes et antisémites.

    1. Je ne connaissais pas moi-même le mot de “bisimulation” (qui semble être un terme d’informatique théorique) avant de vous lire. Je ne suis pas sûr qu’employer de tels termes éclaire le raisonnement du grand public, ce qui est un des buts de ce blog. Idem pour le théorème de Hennessy-Milner, que j’ignorais complètement. Quant à “coïncider sur”, peut-être s’agit-il encore d’une formulation très spécialisée mais pour ma part j’emploie l’expression “coïncider avec”.

      Je connaissais bien sûr la notion de covariance, même si pour ma part c’est plutôt en algèbre que je l’ai vue alors que vous parlez, je pense, de sa définition statistique. Mais encore une fois ces notions dépassent largement le vocabulaire de la plupart des gens même instruits et il n’est peut-être pas très opportun de les employer ici (mais bien évidemment elles ont toute leur place dans un cours universitaire).

      Quant au CNESER, je vous “rassure” (façon de parler) : le problème n’était pas la compréhension des concepts, mais bien avant cela la possibilité de les exposer, puisque les deux témoins que j’avais fait citer (et qui étaient au cœur du débat) n’ont pas eu l’autorisation de parler…

      1. Dans ce cas, nous sommes foutus !

        La compréhension et l’acceptation des déterminants de l’égalité en droits nécessite ces concepts que seuls quelques universitaires autistes maîtrisent. Les notions de relation d’ordre et d’équivalence ne suffisent pas à réfuter la position des tenants de la théorie du genre. Même si l’«égalité» républicaine est bien une relation d’équivalence au sens mathématique, le simple fait que les femmes soient sous-représentées dans les filières scientifiques permet par contraposition d’affirmer que les femmes sont discriminées, car le principe veut que les mêmes causes impliquent les mêmes effets. En prétendant l’inverse, on suppose qu’appliquer les mêmes conditions de développement à un homme et à une femme n’implique pas les mêmes résultats: on fait l’hypothèse que les hommes et les femmes sont différents par nature. Horreur !

        De même, on s’interdit de faire des statistiques sur les races et les religions de manière à ne pas être forcé, par une logique perverse, de prouver l’inégalité des races et des religions. Les relations d’ordre et d’équivalence n’y changent rien.

        Même les femmes entre elles, même les hommes entre eux, ne sont pas bisimilaires. On ne peut tout simplement pas appliquer le même traitement aux causes et aux conséquences, et c’est là le principe essentiel. Que les femmes se détournent des études technologiques ne dit rien sur la nature des femmes ni sur leur environnement social et culturel. On sait qu’il y a un biais, mais on ignore quel est sa source. Pour cela, il faudrait s’engager dans des études dont le sujet même est illégal. De même, que des hommes choisissent des études littéraires ou scientifiques a bien une raison; mais on s’en fout parce qu’ils ont le même sexe. Pourtant, les raisons sont peut-être les mêmes pour les homme et les femmes littéraires.

        L’important est de constater que l’humain est condamné à la stupidité. Perdre l’équivalent de deux années de salaire juste parce que l’homme est con et qu’on s’évertue à postuler l’inverse…

        Je vous laisse en conclusion ces quelques mots de Balthazar Gracián, célèbre persécuté: «Le sage se retire dans le sanctuaire de son silence et, s’il se communique parfois, ce n’est qu’à peu de gens, et toujours à d’autres sages.»

        1. Non, nous ne sommes pas foutus ; vous commettez l’erreur de beaucoup trop intellectualiser le problème.

          La plupart des gens n’ont pas besoin de maîtriser les notions de relation d’ordre, de relation d’équivalence ou les règles de la logique pour se comporter de façon “raisonnable” et ne pas produire les non-sens auxquels nous ont habitués nos élites. Le “bon sens populaire”, même s’il raconte parfois des bêtises, possède une inertie très efficace pour résister aux délires intellectualistes contemporains, qui prétendent que toute tradition est “fasciste”, “d’extrême-droite”, “homophobe” et j’en passe… Quand il y avait des écoles de filles et des écoles de garçons (je ne dis pas que c’était une bonne chose, je remarque juste que ce n’était pas dans un passé si lointain), la théorie du genre, le lobby LGBTQI+ et autres joyeusetés auraient déclenché de vastes éclats de rire (ou pour les cas les plus graves, l’intervention d’hommes en blouse blanche dans des voitures qui font pin-pon) sans nécessiter le moindre recours à une justification académique en bonne et due forme.

          Bref, sous prétexte que pour démontrer l’absurdité d’une théorie il peut être utile d’avoir recours à des concepts qui sont bien plus généraux que cette théorie et qui par conséquent s’imposent à elle (ce qui peut être vu comme un exemple concret de la “loi de la variété requise” de Ashby) vous pensez que tout le monde a besoin de ces concepts pour arriver à rejeter cette absurdité.

          Il n’en est rien : une société n’est composée que marginalement d’intellectuels, et la plupart des individus vivent très bien en se contentant de la “common decency” chère à Michéa. Ce n’est que lorsqu’une partie particulièrement dégénérée de leur “élite” se met à leur imposer ses délires qu’ils ont besoin qu’une autre frange pas trop dégénérée de l’élite vienne neutraliser la première avec ses propres outils…

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