{"id":18634,"date":"2021-07-01T10:24:15","date_gmt":"2021-07-01T08:24:15","guid":{"rendered":"https:\/\/aitia.fr\/erd\/?p=18634"},"modified":"2021-08-26T04:01:51","modified_gmt":"2021-08-26T02:01:51","slug":"vaccins-ensembles-et-probabilites","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/aitia.fr\/erd\/vaccins-ensembles-et-probabilites\/","title":{"rendered":"Vaccins, ensembles et probabilit\u00e9s"},"content":{"rendered":"

\"\"Cet article est d\u00e9di\u00e9 \u00e0 Gilbert Deray, qui a affirm\u00e9 dans un tweet<\/a> que je ne savais pas lire le rapport<\/a> cit\u00e9 dans mon article du 21 juin<\/a>.<\/p>\n

Quand j’avais 5 ans, au cours pr\u00e9paratoire, mon institutrice nous enseignait les “math\u00e9matiques modernes” sur le sol en linol\u00e9um de notre salle de classe en pr\u00e9fabriqu\u00e9 en tra\u00e7ant \u00e0 la craie des ensembles dans lesquels nous devions placer des objets en fonction de leur forme et de leur couleur. Nous y apprenions alors les notions de r\u00e9union et d’intersection : l’ensemble des carr\u00e9s verts \u00e9tait l’intersection de l’ensemble des carr\u00e9s et de celui des objets verts, mais l’ensemble des carr\u00e9s \u00e9tait la r\u00e9union des ensembles de carr\u00e9s rouges, de carr\u00e9s verts et de carr\u00e9s bleus (de m\u00e9moire, il n’y avait que 3 couleurs ; s’il y en avait aussi des jaunes il fallait \u00e9videmment les ajouter).<\/p>\n

En dehors de consid\u00e9rations futiles du genre “j’ai envie de sortir en bo\u00eete” ou “j’ai envie de prendre l’avion pour les vacances”, les questions que chacun devrait se poser pour savoir s’il a int\u00e9r\u00eat ou non \u00e0 se faire vacciner contre la COVID-19 sont :<\/p>\n

    \n
  1. Le vaccin est-il s\u00fbr ?<\/li>\n
  2. Le vaccin est-il efficace ?<\/li>\n<\/ol>\n

    Pour la question 1, nous avons d\u00e9j\u00e0 vu \u00e0 la lumi\u00e8re des donn\u00e9es du VAERS<\/a> que rien n’est moins certain, particuli\u00e8rement si l’on prend en compte l’absence de recul temporel sur les effets secondaires.<\/p>\n

    La question 2 m\u00e9rite d’\u00eatre pr\u00e9cis\u00e9e : s’agit-il d’\u00e9viter une infection (ou de minimiser la probabilit\u00e9 d’\u00eatre infect\u00e9), m\u00eame sous ses formes l\u00e9g\u00e8res voire absolument impossibles \u00e0 d\u00e9tecter sans moyens biochimiques (les fameux “cas asymptomatiques”), ou seulement d’\u00e9viter les formes graves de cette infection, et surtout bien \u00e9videmment, celles conduisant au d\u00e9c\u00e8s ?<\/p>\n

    Vu la r\u00e9ponse exp\u00e9rimentale apport\u00e9e \u00e0 la question 1, il semble naturel de plut\u00f4t mettre l’accent sur les formes graves et les d\u00e9c\u00e8s, car il para\u00eet bien risqu\u00e9 de vouloir \u00e9viter quelques d\u00e9sagr\u00e9ments passagers au prix d’un rem\u00e8de pr\u00e9ventif qui pourrait \u00eatre pire que le mal<\/a>.<\/p>\n

    Or, quand on juge de l’utilit\u00e9 d’une vaccination, on se pose implicitement, m\u00eame si on est allergique aux math\u00e9matiques, une question de probabilit\u00e9 conditionnelle<\/a> : on se demande si l’on a vraiment moins de (mal)chance de tomber gravement malade ou de d\u00e9c\u00e9der sachant qu’on est vaccin\u00e9<\/em>, par rapport \u00e0 la m\u00eame question, sachant qu’on n’est pas vaccin\u00e9<\/em>. Et il est souvent utile, pour r\u00e9soudre ce genre de probl\u00e8me, de se repr\u00e9senter les diff\u00e9rents cas possibles sous formes d’ensembles, comportant pour certains des parties communes (des intersections non vides).<\/p>\n

    <\/p>\n

    C’est l’objet du petit dessin en d\u00e9but d’article, qui vise \u00e0 repr\u00e9senter graphiquement une partie des donn\u00e9es du tableau 4 issu du document<\/a> que nous avions d\u00e9j\u00e0 utilis\u00e9 dans un article pr\u00e9c\u00e9dent<\/a>, et que je reproduis encore ci-dessous :<\/p>\n

    \"\"
    \nNous allons nous int\u00e9resser uniquement aux donn\u00e9es encadr\u00e9es en rouge, c’est-\u00e0-dire aux nombres de cas du variant “delta” et aux nombres de d\u00e9c\u00e8s pour, respectivement, les personnes non vaccin\u00e9es et celles qui ont eu leur deuxi\u00e8me et derni\u00e8re dose depuis plus de 14 jours. Ces chiffres vont nous permettre, d’une part d’estimer l’efficacit\u00e9 du vaccin en conditions r\u00e9elles, et d’autre part de voir si ce vaccin en vaut la peine pour la diminution de la mortalit\u00e9.<\/p>\n

    Dans notre petit dessin \u00e0 la craie, nous avons trac\u00e9 un grand ensemble appel\u00e9 UK<\/em> qui repr\u00e9sente, non la totalit\u00e9 de la population du Royaume-Uni, mais uniquement celle qui est soit pas du tout<\/em> vaccin\u00e9e, soit compl\u00e8tement<\/em> vaccin\u00e9e contre la COVID-19. Cet ensemble est divis\u00e9 en deux parties : V<\/em> d\u00e9signant l’ensemble des personnes (enti\u00e8rement) vaccin\u00e9es, et NV<\/em> d\u00e9signant celui des personnes non vaccin\u00e9es. Le tableau reprenant des donn\u00e9es au 14 juin, et pour des personnes totalement vaccin\u00e9es depuis au moins 14 jours, nous devons rechercher le nombre de personnes totalement vaccin\u00e9es au 31 mai ; diff\u00e9rentes sources<\/a> nous disent qu’il y avait 37,9 % de la population du Royaume-Uni enti\u00e8rement vaccin\u00e9e le 31 mai 2021, ce qui fait, pour un pays de 67,9 millions d’habitants, environ 25,7 millions de personnes. Quant aux personnes non vaccin\u00e9es, puisqu’au 14 juin les vaccin\u00e9es (1 et 2 doses) repr\u00e9sentaient 61,6 % de la population, les sujets non encore piqu\u00e9s constituaient 38,4 % de la population soit 26,1 millions de personnes environ. Nous avons donc d\u00e9j\u00e0 les nombres d’\u00e9l\u00e9ments \u2013 les math\u00e9maticiens diraient les cardinaux<\/a> \u2013 des ensembles V<\/em> et NV<\/em>.<\/p>\n

    \u00c0 l’int\u00e9rieur de l’ensemble UK<\/em>, nous pouvons tracer l’ensemble I<\/em> des personnes infect\u00e9es par le variant “delta”, qui est \u00e0 cheval sur les ensembles V<\/em> et NV<\/em> puisqu’il y a \u00e0 la fois des personnes totalement vaccin\u00e9es (au nombre de 4 087) et des personnes non vaccin\u00e9es (au nombre de 35 521) qui ont \u00e9t\u00e9 infect\u00e9es.<\/p>\n

    Puis \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ensemble des infect\u00e9s, nous pouvons tracer l’ensemble des personnes d\u00e9c\u00e9d\u00e9es, not\u00e9 D<\/em>, puisqu’il faut avoir \u00e9t\u00e9 infect\u00e9 pour d\u00e9c\u00e9der de la COVID-19. Comme l’ensemble I<\/em>, il est \u00e0 cheval sur les ensembles V<\/em> et NV<\/em> puisqu’il y a eu des morts dans les deux “camps”.<\/p>\n

    Attention ! La repr\u00e9sentation graphique n’est pas du tout “\u00e0 l’\u00e9chelle”, la taille des diff\u00e9rents ensembles n’\u00e9tant pas du tout repr\u00e9sentative du nombre d’\u00e9l\u00e9ments qu’ils comportent. Il s’agit seulement de pouvoir visualiser les inclusions (par exemple, D<\/em> est n\u00e9cessairement inclus dans I<\/em>) et les intersections des ensembles (le fait qu’une partie des vaccin\u00e9s soit d\u00e9c\u00e9d\u00e9e, par exemple).<\/p>\n

    Avec tout ce qui pr\u00e9c\u00e8de, nous pouvons maintenant compl\u00e9ter notre dessin en y inscrivant les cardinaux des diff\u00e9rents ensembles, donn\u00e9s par le tableau ou obtenus par addition de deux nombres (par exemple, le cardinal de l’ensemble D<\/em> est \u00e9gal \u00e0 34 + 26 = 60) :<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    Il devient maintenant plus facile d’estimer les probabilit\u00e9s conditionnelles dont nous parlions. Mais attention, commen\u00e7ons par une mise en garde : lorsqu’on parle de probabilit\u00e9s, on fait comme si les \u00e9l\u00e9ments d’un ensemble \u00e9taient tous \u00e9quivalents, et qu’on fait un tirage au hasard parmi ces \u00e9l\u00e9ments. Par exemple, on supposera que tous les individus de l’ensemble “vaccin\u00e9s” sont \u00e9quivalents, et que tous ceux de l’ensemble “non vaccin\u00e9s” le sont aussi, et on s’identifiera \u00e0 l’une ou l’autre de ces cat\u00e9gories pour en d\u00e9duire telle ou telle probabilit\u00e9, comme celle d’\u00eatre infect\u00e9 ou celle de d\u00e9c\u00e9der. Or en mati\u00e8re de sant\u00e9, c’est un raisonnement grossier, pour ne pas dire faux : \u00e9norm\u00e9ment de facteurs entrent en jeu, et il n’est pas s\u00fbr du tout que la classification “vaccin\u00e9 ou non vaccin\u00e9”, dont on tente de nous faire croire qu’elle est essentielle, soit le d\u00e9terminant le plus important. Bien d’autres facteurs, certains contre lesquels on ne peut rien (l’\u00e2ge, le sexe…), d’autres pour lesquels on peut beaucoup (l’alimentation, l’hygi\u00e8ne de vie…) sont sans doute aussi d\u00e9terminants, voire davantage, pour d\u00e9terminer la probabilit\u00e9 d’\u00eatre infect\u00e9 ou de mourir d’une maladie, que le fait d’\u00eatre vaccin\u00e9 ou non contre cette maladie.<\/p>\n

    Il est particuli\u00e8rement important de garder en t\u00eate cette limite au raisonnement : ce n’est pas parce que certains vous disent en permanence \u00e0 quoi il faut penser que la classification qu’ils vous imposent est r\u00e9ellement importante pour la question pos\u00e9e<\/strong>. Mais puisque c’est ainsi que fonctionnent les \u00e9valuations de l’efficacit\u00e9 des vaccins, en mettant dans le m\u00eame sac des individus que tout oppose et en faisant comme si le vaccin pouvait \u00eatre le param\u00e8tre d\u00e9terminant qui effa\u00e7ait tous les autres, soyons aussi bourrins que les chercheurs de l’industrie pharmaceutique et utilisons les chiffres officiels de Public Health England<\/em> pour en tirer quelques conclusions.<\/p>\n

    Commen\u00e7ons par rappeler la d\u00e9finition de l’efficacit\u00e9 d’un vaccin. Pour cela, il faut d’abord d\u00e9finir ce qu’on appelle le taux d’attaque (\"TA\"<\/em>) d’une \u00e9pid\u00e9mie ; c’est le rapport entre le nombre de personnes infect\u00e9es (\"n_{I}\") et le nombre de personnes susceptibles de l’\u00eatre (\"n\") pendant la m\u00eame p\u00e9riode :<\/p>\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n

    Bien entendu, ce taux d’attaque peut \u00eatre d\u00e9fini pour divers sous-ensembles (fonction de l’\u00e2ge, du sexe, du lieu d’habitation etc.) et dans le cas qui nous concerne, on en d\u00e9finira un pour les personnes enti\u00e8rement vaccin\u00e9es (not\u00e9 \"TA_{V}\") et un autre pour les personnes non vaccin\u00e9es (not\u00e9 \"TA_{NV}\"), sachant qu’on esp\u00e8re le premier inf\u00e9rieur au second. Voyons ce qu’il en est :<\/p>\n

      <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}<\/p>\n

    Avant m\u00eame d’aller plus loin, on peut d\u00e9j\u00e0 remarquer deux choses :<\/p>\n