{"id":10766,"date":"2019-04-07T17:00:40","date_gmt":"2019-04-07T15:00:40","guid":{"rendered":"https:\/\/aitia.fr\/erd\/?p=10766"},"modified":"2019-04-25T15:34:28","modified_gmt":"2019-04-25T13:34:28","slug":"relation-dordre-relation-dequivalence","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/aitia.fr\/erd\/relation-dordre-relation-dequivalence\/","title":{"rendered":"Relation d’ordre, relation d’\u00e9quivalence"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>Les maths font peur, ce n’est pas nouveau. M\u00eame \u00e0 un physicien comme moi, qui s’est souvent senti intimid\u00e9 face \u00e0 des d\u00e9veloppements trop abstraits, pas utiles (\u00e0 premi\u00e8re vue, mais il faut se m\u00e9fier !) \u00e0 la r\u00e9solution des probl\u00e8mes de physique. Pourtant, on a beau dire, mais les math\u00e9matiques constituent une \u00e9cole de rigueur irrempla\u00e7able. Et qui n’est pas capable de rigueur dans le raisonnement est une cible id\u00e9ale pour tous les charlatans, manipulateurs et autres personnes mal intentionn\u00e9es, qui font profession de vivre gr\u00e2ce \u00e0 l’ignorance des autres plut\u00f4t qu’en monnayant un v\u00e9ritable travail.<\/p>\n

Du temps o\u00f9 j’\u00e9tais coll\u00e9gien (quelque part entre l’extinction des dinosaures non-aviens et maintenant), on enseignait d\u00e8s la cinqui\u00e8me<\/a> les notions de relation d’ordre et de relation d’\u00e9quivalence. Aujourd’hui, il semble que ces notions simples et utiles aient \u00e9t\u00e9 repouss\u00e9es \u00e0 des stades tr\u00e8s ult\u00e9rieurs<\/a>… alors qu’elles sont de la plus haute importance pour d\u00e9monter nombre de manipulations dans lesquelles nous baignons ; en particulier quand il s’agit de discuter d’\u00e9galit\u00e9<\/em>. Essayons de voir comment, mais d’abord, commen\u00e7ons par donner des d\u00e9finitions : en maths, inutile de parler de ce qu’on n’a m\u00eame pas d\u00e9fini. Que les math\u00e9maticiens me pardonnent, mon langage ne sera sans doute pas aussi pr\u00e9cis qu’il est souhaitable dans la discipline, mais il vise \u00e0 \u00eatre compris du plus grand nombre tout en dissipant le maximum d’ambigu\u00eft\u00e9s.<\/p>\n

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M\u00eame si le terme de relation binaire<\/a> peut \u00eatre d\u00e9fini par les math\u00e9maticiens d’une fa\u00e7on qui fera peur aux autres, il n’est pas vraiment utile, pour la suite, de s’apesantir dessus car chacun peut comprendre, dans le langage courant<\/a>, ce que cela signifie : c’est un lien entre deux entit\u00e9s, au sens large. Il faut par contre pr\u00e9ciser en quoi cette relation peut \u00eatre “d’ordre” ou “d’\u00e9quivalence”, et pour cela, il faut d\u00e9finir quelques propri\u00e9t\u00e9s que les relations peuvent avoir. Pour all\u00e9ger les phrases, commen\u00e7ons par adopter une convention ; on appellera \"A\" et \"B\" les deux entit\u00e9s mises en relation, et la phrase “\"A\" est en relation avec \"B\"” sera abr\u00e9g\u00e9e en :<\/p>\n

\"A\" \ud835\udce1 \"B\"<\/p>\n

La lettre \ud835\udce1 plac\u00e9e entre \"A\" et \"B\" symbolise<\/em> la relation, et permet de l’\u00e9crire sous une forme condens\u00e9e, mais il ne faudrait pas pour autant en oublier sa signification.<\/em> Il est donc conseill\u00e9 de ne pas<\/em> lire cette expression comme une “formule magique”, en pronon\u00e7ant seulement les lettres, mais bien de lire : “\"A\" est en relation avec \"B\"” .<\/p>\n

Les relations peuvent avoir diff\u00e9rentes propri\u00e9t\u00e9s :<\/p>\n